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MCR5
Cálculo de los períodos de retorno
 
Indice
 
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Introducción:
 

El objetivo de este capítulo y el siguiente es determinar los valores máximos de precipitación en 24 horas esperados para los distintos períodos de retorno prefijados.

Para ello hemos ajustado la función de distribución de Gumbel a las series de valores máximos anuales de precipitación en 24 horas, correspondientes a cada una de las estaciones pluviométricas seleccionadas.

Aparte del interés evidente que tiene saber hasta cuánto puede llover en un día en un lugar determinado, estos valores constituyen también uno de los índices más significativos del régimen pluviométrico.

Su conocimiento es útil también para problemas prácticos de ingeniería civil y en el ámbito de la protección civil.

Los datos de precipitación en 24 horas se refieren al día pluviométrico, es decir, de 7 horas U.T.C. a las 7 horas del día siguiente. Esto significa que la duración de la precipitación no es de 24 horas, en general, sino menor. Esta limitación se puede corregir multiplicando por 1,13 los valores máximos obtenidos, como se desprende de los numerosos estudios realizados al respecto (O.M.M., 1986).

En este estudio hemos elegido series con una longitud mínima de al menos 20 años, con la excepción de la estación de Hoz de Anero, cuya longitud es de 16 años. Cuanto mayor sea el número de datos de la muestra, más representativa será dicha muestra de la población y más ajustada será su distribución de frecuencias a la realidad. Es por ello que hemos utilizado todos los valores disponibles de cada serie aunque éstos no fuesen consecutivos. Esto es perfectamente plausible ya que los datos de la serie son independientes entre sí. Sin embargo, cuando hemos sospechado que el dato desconocido pudiera coincidir con un día de precipitación muy elevada hemos desechado la serie, ya que la ausencia de ese dato podría introducir un sesgo en la muestra.

Por todo ello los valores esperados para los períodos de retorno superiores a 100 años deben considerarse como estimaciones, sobre todo para las series de menor longitud.

Aunque para una estación dada, las precipitaciones máximas en distintos años son independientes entre sí, para varias estaciones próximas las máximas en un mismo año no suelen ser independientes. Es por ello que hemos procurado que las series de las estaciones próximas sean síncronas.

Las series seleccionadas, aparte de cumplir el requisito indispensable de homogeneidad y tener una longitud mínima, han pasado un minucioso control de calidad. Este paso previo es imprescindible por varias razones. En primer lugar, hay numerosos errores en la Base de Datos. Nos hemos encontrado con valores elevados de precipitación que en realidad eran la suma de la precipitación caída en varios días. Hemos desechado series homogéneas cuyos datos eran erróneos por un mal emplazamiento del pluviómetro o errores de observación. Por último, hemos utilizado datos que consideramos correctos y que no están grabados en la base de datos.

El estudio se aborda con el ánimo de complementar el trabajo realizado por el Servicio de Aplicaciones Climatológicas sobre el mismo problema (Merchán Rubio y Mestre Barceló, 1998), utilizando más estaciones, sobre todo en zonas climatológicamente singulares.
 
 

Homogeneidad de las series:
 

Se dice que una serie de datos es homogénea cuando es una muestra aleatoria extraída de una única población. 

Por lo tanto, lo primero que debemos hacer es asegurarnos, en la medida de lo posible, de la homogeneidad de las series.

Las posibles causas del carácter no homogéneo de una serie son numerosas: cambio del lugar de observación o alteración del mismo, cambio del instrumento de medida, cambio de observador, etc.

Un procedimiento ampliamente utilizado en Climatología para decidir si una serie es homogénea o no es el llamado test de las rachas o de las secuencias.

Se llama racha a una sucesión de valores por encima o debajo de la mediana. El número total de rachas en una muestra de observaciones independientes sigue una distribución aproximadamente normal. Rechazaremos la hipótesis de independencia u homogeneidad cuando el número de rachas sea significativamente pequeño o grande.

En el presente trabajo se consideran homogéneas aquellas series que pasan el test de las rachas para un nivel de significación de hasta 0,05.
 
 

Fundamento del cálculo de Períodos de retorno:
 

El grado de magnitud de un fenómeno extremo está relacionado de forma inversa con su frecuencia de ocurrencia. Así, en nuestras latitudes las precipitaciones muy intensas ocurren con una frecuencia menor que las moderadas o débiles.

Si disponemos de una serie de valores extremos anuales correspondientes a una variable aleatoria, es fácil la valoración de un determinado valor de la variable relacionando dicho valor extremo con sus frecuencias de ocurrencia, bien obtenidas empíricamente o mediante el uso de distribuciones de probabilidad.

Se denomina período de retorno o de recurrencia de un determinado valor extremo al intervalo medio T, expresado en años, entre dos sucesos que igualan o superan el valor extremo considerado. 

La probabilidad de ocurrencia de un fenómeno extremo está relacionada con su período de retorno por:

Si  se verificará que  y el período de retorno vendrá dado por:

Si disponemos de una serie de valores extremos anuales lo suficientemente larga, podemos estimar la probabilidad de ocurrencia de un determinado valor extremo mediante la frecuencia empírica acumulada, dada por la fórmula de Weibull:

donde xi es el elemento i-ésimo de la serie de N datos ordenada de menor a mayor.

Se utiliza la fórmula de Weibull, y no la fórmula usual  de casos favorables entre el número total de casos, con el objeto de no obtener probabilidad igual a 1, suceso seguro, al calcular la probabilidad de ocurrencia de un valor inferior al valor más alto de la serie. De esta manera podemos calcular la probabilidad del suceso complementario y su período de retorno.

Cuando se necesita estimar los valores extremos correspondientes a períodos de retorno superiores a la longitud de la serie disponible, es necesario asumir la hipótesis de que ésta es una muestra de una población que se distribuye según una ley teórica de distribución de valores extremos.

Una de las funciones de distribución que proporcionan mejores resultados es la de Gumbel, que viene dada por:

donde  siendo  la media y la desviación típica de la serie, e  la media y la desviación típica de la serie dada por:

denominada variable reducida, donde 

Sustituyendo la función de distribución de Gumbel en la expresión que nos da el período de retorno y operando, se obtiene:

donde 

El intervalo de confianza dentro de cuyos límites es de esperar se encuentre el valor de x, para distintos niveles de confianza c, viene dado por:

donde

t(c) = 1,960 para c = 95 %

t(c) = 1,645 para c = 90 %

t(c) = 1,282 para c = 80 %

  donde, para una distribución de Gumbel, 
 
 

Bondad del ajuste:
 

Hemos supuesto que la población se distribuye según la función de distribución de Gumbel. El coeficiente de correlación entre los valores ordenados de la serie y la variable reducida nos da ya una idea de la bondad del ajuste. Sin embargo probaremos la bondad del mismo mediante el test de contraste de Kolmogorov-Smirnov.

Este test compara la función de distribución teórica con la empírica y calcula la discrepancia máxima. Si ésta es mayor que un determinado valor, para un nivel de significación fijado, rechazaremos el modelo teórico.

En todas las estaciones utilizadas en el estudio las discrepancias encontradas son muy pequeñas, de tal forma que el nivel crítico del contraste es mayor que 0,20 en todas ellas, por lo que aceptamos la hipótesis de que la población se distribuye según la función de distribución de Gumbel.
 
 

Presentación de los resultados:
 

Los resultados, en forma numérica y gráfica, se muestran en el siguiente capítulo.

Para cada una de las 32 estaciones pluviométricas objeto del estudio se presenta:
 

  •  La serie ordenada cronológicamente
  •  Tres estadísticos descriptivos ( media, mediana y desviación típica )
  •  Resultados de aplicar a la serie la prueba de las rachas
  •  La serie ordenada de menor a mayor (x)
  •  Valores de probabilidad o frecuencia empírica obtenidos mediante la fórmula de Weibull (Fi)
  •  Valores correspondientes a la variable reducida (y)
  •  Valores de probabilidad o frecuencia teórica obtenidos mediante la función de distribución de Gumbel (Fx)
  •  Bondad del ajuste de la función de distribución de Gumbel: Coeficiente de correlación entre x e y.
  •  Bondad del ajuste de la función de distribución de Gumbel: Test de Kolmogorov - Smirnov
  •  Valores extremos para los períodos de retorno de 2, 5, 10, 25, 50, 75, 100, 250 y 500 años así como los intervalos de confianza para los niveles de confianza del 95%, 90% y 80%.


Además, se han trazado los mapas de isoyetas de precipitación máxima en 24 horas para los períodos de retorno de 5, 10, 25, 50, 100 y 250 años.

 


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